推しのブロマイドを使ったトレーディングカードゲームが出ると聞いて私がやることは1つだった

何枚引けば推しが揃うかの期待値を求めます。

はじめに
問題への取り組み
シミュレーションによる解法
組合せ計算による解析的解法
結果を確認する：パターンA
結果を確認する：パターンB
まとめ、兼取り扱いについて

はじめに

お久しぶりです、こりです

twitterでは今は苗字?みたいなのがついて「いのこり」になっています。

いつ変えたんだかは忘れました。昨年9月の「遠足のレヴュー@北海道」でお便りを読んでいただけたとき、小山百代さんに「何に居残ってるんだろうね」って言われた覚えがあるのでその前後だと思います。

当時は、大学に年単位の居残りをしていました(あっ......)。春からは働いていますのでご安心を。

では本題に移ります。

推しのブロマイドを使ったトレーディングカードゲームが出るらしいよ〜〜〜！*1

やった〜〜〜！どんな写真が見られるのか楽しみ！！！

カードゲームをしない私でも、推しのくらいは揃えたい！！と思うものです。

するとここでいくつかの問題が出てきます。

1つ目はズバリお金の問題です。トレーディングカードゲーム（以下TCG）はランダムでカードが入っているため、「これだけ買えば必ず入っている」という限度がないです。いっぱい買えばそれだけ推しのカードも出やすいでしょうが資金には限りがあります。この問題の単純な解決法は、TCGの名の通り「トレーディング」です。他プレイヤーとカードを交換/譲渡することで欲しいカードを手に入れることが可能で、それがまた醍醐味とされています（知らんけど）。

2つ目はその「トレーディング」に関わる問題で、「友人が少ない」ことです。TCGをする友人が少なく、また同担の友人が多いため、トレーディングで推しを集めることは困難を極めると想像されます。

従って、最小限の枚数の購入によって、自力で推しを揃えたいと考えるのは自然なことでしょう。

そこで今回は、こちらの問題を定義しました。

「 $N$ 種類のカードが無限にあって、それぞれの種類は等しい確率で出るものとする。その中のきまった $M$ 種類のカードを揃えたい。カードを1枚ずつ引いていくとき、ちょうど $K$ 枚目で欲しかった $M$ 種類のカードが揃う確率はいくらか？」

この問題に対して私は2通りのアプローチ、すなわち　①ガチャシミュレーションによる統計的計算　②高校数学による組み合わせと確率の解析的計算　により解を求めました。その結果、両者が一致することも確認しました。

そして動機だった「どれだけ引けば推しを揃えられるか？」という問題に、期待値として答えを与えることができました。その結果、マジで当たり前ですが「誰かと交換したほうがいいわね......」という結論に辿り着きました。*2

本記事は、同じ悩みを抱えるオタクのもとに届けばいいなという想い、そして「あわよくば、誰かがこの記事を見てトレーディングに応じてくださればいいな」という期待のもとに執筆します。

さて以下で計算過程の説明を行っていくのですが、「結局、何枚引けばhrkちゃんが揃うんや」とお急ぎの方はまとめまですっ飛ばしていただいて構いません。*3

問題への取り組み

今回の大目標は「どれだけ頑張れば推しが揃うか」の一点なので、 $N$ , $M$ , $K$ といった一般の場合はそれなりにして、 $N=56$ , $M=4$ という特殊なケースのみを考えます。

対象とするTCGは、通常28種, パラレル28種, スペシャル3種の計59種類で構成されています。スペシャルは出現確率が低いので「出ない」ものとして、「残り56種が等確率で出る」との簡略化を行いました*4。そして推しのカードは通常28種中2種類、パラレル28種中2種類の計4種類であると仮定しています。これをパターンAとします。もう一方のパターンBは、「パラレルとは単に通常カードにホログラムが入っただけで、絵柄は一緒（だから4種類も揃える必要はない）」と仮定した場合です。このとき通常カードとパラレルカードは同一視できて、 $N=28$ , $M=2$ の場合を考えればよいことになります。

一応「予想」という形で、一般の $N$ , $M$ の場合の表式を提示しますが証明は行いません。

シミュレーションによる解法

ランダムに $1 \sim N$ の整数を重複ありで1つずつ生成し、記録していきます。この整数の組に $1 \sim M$ すべてが出現した時点で終了し、引いた枚数を記録します。これを1回のシミュレーションとします。シミュレーションを100万回行って、必要枚数の分布を近似的に求め、平均と分散を算出しました。

組合せ計算による解析的解法

$N$ 種類のうち目当ての $M$ 種類がちょうど $K$ 枚引いたところで揃う確率を $f_{N, M}(K)$ とします。面倒なので $N=56$ , $M=4$ は当たり前に使うこととし、 $f(K)$ と書きましょう。このとき

$K \lt 4$ では, 明らかに $4$ 種類揃うはずがないので $f ( K ) = 0$
$K = 4$ のとき、欲しい全種類が順番自由で出なくてはならないので $f ( 4 ) = 4!/56^ 4$

はすぐにわかります。一般の $K > 4$ は、漸化的に考えると

$\begin{aligned} f ( K ) &= (K-1 枚目までにどれか3種類が揃っていて, 残り1種類がまだである確率) \times (K 枚目で残り1種類を引く確率) \\ &= (K-1 枚目までにどれか3種類が揃っていて, 残り1種類がまだである確率) \times 1/56 \end{aligned}$

となります。このカッコ書きの確率を求めることが本解析のメインテーマとなります。ここで新たな表記として、すべてのカードの種類の集合 $U= \{ 1, 2, 3, \ldots , 56 \}$ , 推しカードの集合 $S = \{ 1, 2, 3, 4\}$ を定義します。そして推しカードの部分集合を $T$ とし、 $K$ 枚目までに $T$ は既に引いているが $T \backslash S$ は引けていない確率を $g_T(K)$ と表します。たとえば $T = \{ 1, 2 \}$ のとき $T \backslash S$ は $\{ 3, 4 \}$ となります。また空集合は $\emptyset$ で表します。

このように表記することで、上のカッコ書きの確率は $g _ { \{ 1, 2, 3 \} } ( K-1 ) + g _ { \{ 2, 3, 4 \} } ( K-1 ) + g _ { \{ 3, 4, 1 \} } ( K-1 ) + g _ { \{ 4, 1, 2 \} } ( K-1 )$ と表されます。また、カードの番号付けに意味はないので $4 \times g _ { \{ 1, 2, 3 \} } ( K-1 )$ としても同じです。なので $T$ の要素数 $t$ を用いて、 $g _ { T= \{ 1, 2, 3 \} } ( K-1 ) = g _ {t=3} (K-1)$ という表記も使っていきます。

$4$ 種類揃えることを目指して、順に $0, 1, 2, 3$ 種類と集めていきましょう。まず $t=0$ は、目当ての4種類以外（= 52種類）が出ていいので

$g _ 0 (K) = (52/56) ^ K$

です。

次に $t=1$ は「 $K$ 枚引いて $1$ は当たったけど $2, 3, 4$ が当たらない」確率であり、

$\begin{aligned} g _ 1 (K) = g _ {\{ 1\} } (K) &= (1と52種類, 計53種類が出ていい) - (1も除いた52種類が出ていい) \\ &= (53/56) ^ K - g _ 0 (K) \\ &= (53/56) ^ K - (52/56) ^ K \end{aligned}$

となります。

$t=2$ 以降も同様にやっていくと、

$\begin{aligned} g _ 2 (K) &= g _ { \{ 1, 2 \} }(K) \\ &= (54/56) ^ K - g _ { \{ 1 \} }(K) - g _ { \{ 2 \} }(K) - g _ { \emptyset }(K) \\ &= (54/56) ^ K - 2 \cdot g _ 1 (K) - g _ 0 (K) \\ &= (54/56) ^ K - 2 \cdot (53/56) ^ K + (52/56) ^ K, \\ \\ g _ 3 (K) &= (55/56) ^ K - g _ { \{ 1, 2 \} }(K) - g _ { \{ 2, 3 \} }(K) - g _ { \{ 3, 1 \} }(K) - g _ { \{ 1 \} }(K) - g _ { \{ 2 \} }(K) - g _ { \{ 3 \} }(K) - g _ { \emptyset }(K) \\ &= (55/56) ^ K - 3 \cdot g _ 2 ( K) - 3 \cdot g _ 1 ( K) - g _ 0 ( K) \\ &= (55/56) ^ K - 3 \cdot (54/56) ^ K + 3 \cdot (53/56) ^ K - (52/56) ^ K \end{aligned}$